Dalla circonferenza goniometrica ai triangoli
La goniometria studia gli angoli e le funzioni che li misurano (seno, coseno, tangente); la trigonometria usa queste funzioni per «risolvere» i triangoli, cioè ricavarne lati e angoli. Questa app accompagna il percorso completo, dalla circonferenza goniometrica fino ai grandi teoremi sui triangoli.
Ogni sezione è organizzata sempre nello stesso modo, in quattro parti:
- 📖 Teoria — concetti, formule e figure;
- 🎛️ Simulazioni — circonferenza, grafici e triangoli con parametri regolabili e animazioni;
- ✍️ Prova tu — esercizi guidati con suggerimenti e soluzione passo-passo;
- 🧩 Quiz — domande a scelta multipla e calcoli numerici con validazione.
🧭 Angoli, archi e loro misura
Un angolo si può misurare in due unità. In gradi sessagesimali l'angolo giro vale 360°. In radianti la misura di un angolo al centro è il rapporto tra l'arco che esso sottende e il raggio:
La conversione tra le due unità sfrutta la proporzione 180° : π = gradi : radianti:
| gradi | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° | 180° | 270° | 360° |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| radianti | 0 | π/6 | π/4 | π/3 | π/2 | π | 3π/2 | 2π |
La circonferenza goniometrica
È la circonferenza di raggio 1 con centro nell'origine di un sistema di assi. Un angolo orientato α (positivo in verso antiorario) individua su di essa un punto P. Le funzioni goniometriche sono le coordinate di P:
Poiché P sta sulla circonferenza di raggio 1, si ha sempre −1 ≤ sin α ≤ 1 e −1 ≤ cos α ≤ 1. La tangente è l'ordinata del punto in cui la retta OP incontra la retta verticale x = 1 (l'«asse delle tangenti»):
🔄 Animazione: il punto P ruota. cos α è il segmento orizzontale, sen α quello verticale, tan α è letta sull'asse x = 1.
Si definiscono anche le funzioni reciproche: cotangente cot α = cos α/sin α = 1/tan α, secante sec α = 1/cos α e cosecante csc α = 1/sin α.
Segno nei quattro quadranti
Il segno di seno e coseno dipende dal quadrante in cui cade P; quello della tangente è il loro rapporto:
| quadrante | angolo | sin | cos | tan |
|---|---|---|---|---|
| I | 0°–90° | + | + | + |
| II | 90°–180° | + | − | − |
| III | 180°–270° | − | − | + |
| IV | 270°–360° | − | + | − |
I grafici delle funzioni goniometriche
Riportando α sull'asse delle ascisse si ottengono le curve di seno e coseno: la sinusoide e la cosinusoide. Sono periodiche di periodo 2π e oscillano tra −1 e 1; il coseno è la sinusoide traslata di π/2.
y = sin x (verde) e y = cos x (arancio) sull'intervallo [−2π, 2π].
La tangente ha periodo π e presenta asintoti verticali dove cos x = 0, cioè per x = π/2 + kπ.
🎛️ Esplora la circonferenza goniometrica
Muovi l'angolo e osserva come variano seno, coseno e tangente sul cerchio unitario.
raggio OP seno coseno tangente
📐 Gli archi (angoli) notevoli
Alcuni angoli compaiono di continuo: 0°, 30°, 45°, 60°, 90° e i loro multipli. I loro valori si ricavano da semplici triangoli e vanno conosciuti a memoria.
L'angolo di 45° (π/4)
Nasce da un triangolo rettangolo isoscele: i due cateti sono uguali, quindi i due angoli acuti valgono 45°. Per simmetria seno e coseno coincidono e, dalla relazione sin² + cos² = 1, si ottiene:
Gli angoli di 30° e 60° (π/6 e π/3)
Si ricavano dalla metà di un triangolo equilatero. Con ipotenusa 1, il cateto opposto a 30° è metà ipotenusa, l'altro è la sua altezza:
Triangolo 30°-60°-90° con ipotenusa 1: il lato opposto a 30° vale 1/2, quello opposto a 60° vale √3/2.
La tabella dei valori del 1º quadrante
| α | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° |
|---|---|---|---|---|---|
| sin | 0 | 1/2 | √2/2 | √3/2 | 1 |
| cos | 1 | √3/2 | √2/2 | 1/2 | 0 |
| tan | 0 | √3/3 | 1 | √3 | ∄ |
Oltre il primo quadrante
I valori degli altri quadranti si ottengono da quelli del primo applicando le regole degli archi associati (sezione successiva) e i segni di ciascun quadrante. La figura mostra dove cadono i punti notevoli sulla circonferenza.
🔄 Animazione: il raggio percorre i 16 archi notevoli in successione e per ciascuno mostra gradi, radianti e coordinate (cos α; sin α), con i segmenti di seno (verde) e coseno (arancio).
I punti notevoli nel piano cartesiano
Per ogni angolo è segnato il punto P sulla circonferenza goniometrica con la misura in gradi e radianti e le coordinate (cos α; sin α). Un'animazione evidenzia gli angoli in successione (in senso antiorario); si nota subito la simmetria dei punti rispetto agli assi e all'origine.
Multipli di 45° (multipli di π/4)
0°, 45°, 90°, 135°, 180°, 225°, 270°, 315°: le coordinate valgono 0, ±1 oppure ±√2/2.
Multipli di 60° (multipli di π/3)
0°, 60°, 120°, 180°, 240°, 300°: le coordinate combinano ±1/2 e ±√3/2 (e ±1 sugli assi).
Gli angoli 30°, 150°, 210° e 330°
30° = π/6, 150° = 5π/6, 210° = 7π/6, 330° = 11π/6: tutti con coordinate (±√3/2; ±1/2).
🎛️ I valori esatti degli archi notevoli
Scegli un angolo notevole: il cerchio mostra il punto corrispondente e i valori esatti delle funzioni goniometriche.
🔄 Archi associati a un angolo α
Due archi si dicono associati quando i loro punti sulla circonferenza sono simmetrici. Le relazioni che ne derivano permettono di ricondurre qualsiasi angolo al primo quadrante, dove i valori sono noti.
🔄 Animazione: α e il suo supplementare π − α restano simmetrici rispetto all'asse y, quindi hanno lo stesso seno e coseni opposti.
Archi opposti (−α) e supplementari (π − α)
Opposti: −α (simmetria rispetto all'asse x)
Il coseno è una funzione pari (non cambia), seno e tangente sono dispari (cambiano segno).
Supplementari: π − α (simmetria rispetto all'asse y)
Archi che differiscono di π e esplementari
π + α (simmetria rispetto all'origine)
Seno e coseno cambiano segno; la tangente resta invariata (ha periodo π).
Esplementari: 2π − α (equivalenti a −α)
Archi complementari e la simmetria seno ↔ coseno
Complementari: π/2 − α (simmetria rispetto alla bisettrice y = x)
Qui seno e coseno si scambiano (da cui il nome «co-seno», seno del complementare):
π/2 + α
🎛️ Confronta α con il suo arco associato
Scegli un angolo acuto α e un tipo di associazione: la simulazione mostra i due punti e le relazioni tra le funzioni.
α arco associato
🔗 La prima relazione fondamentale
Il punto P = (cos α, sin α) sta sulla circonferenza di raggio 1. Il triangolo rettangolo che ha per cateti il coseno e il seno e per ipotenusa il raggio dà, per il teorema di Pitagora, l'identità più importante della goniometria:
🔄 Animazione: l'angolo α ruota. sen α (verde) e cos α (arancio) sono i cateti, l'ipotenusa è 1: per Pitagora cos²α + sin²α = 1, sempre.
Da essa si ricava una funzione dall'altra (il segno dipende dal quadrante):
La seconda relazione fondamentale
Lega la tangente alle altre due funzioni:
La cotangente è il suo reciproco:
Relazioni derivate
Dividendo sin²α + cos²α = 1 per cos²α oppure per sin²α si ottengono:
Da cui, noto il valore della tangente:
Esempi di calcolo
cos α = +√(1 − 9/25) = √(16/25) = 4/5 ; tan α = (3/5)/(4/5) = 3/4.
🎛️ Verifica sin²α + cos²α = 1
Qualunque sia l'angolo, la somma dei quadrati di seno e coseno resta esattamente 1: è l'area dei due quadrati costruiti sui cateti uguale al quadrato sull'ipotenusa (di lato 1).
⚖️ Equazioni goniometriche elementari
Sono del tipo sin x = m, cos x = m, tan x = m. Poiché le funzioni sono periodiche, le soluzioni sono infinite e si scrivono con un parametro intero k ∈ ℤ.
dove α è l'arco «di riferimento» (α = arcsin m, arccos m oppure arctan m). Se |m| > 1 le equazioni in seno e coseno non hanno soluzioni.
sin x = 1/2 in [0, 2π): due soluzioni, x = π/6 e x = 5π/6, dove la sinusoide incontra la retta y = 1/2.
Equazioni riconducibili a elementari
Si usano scomposizioni, sostituzioni e le relazioni fondamentali per arrivare a una forma elementare.
Con uguaglianza di funzioni
Per sostituzione o scomposizione
Equazioni lineari in seno e coseno
Hanno la forma a·sin x + b·cos x = c. Il caso senza termine noto (c = 0) è il più semplice: se b ≠ 0 si divide per cos x ottenendo un'equazione in tangente.
Con c ≠ 0 si possono usare le formule parametriche (t = tan(x/2)) oppure il metodo dell'angolo aggiunto R·sin(x + φ) = c.
Equazioni omogenee di 2º grado
Sono della forma, con tutti i termini di «secondo grado» in seno e coseno:
Poiché cos x = 0 non è soluzione (se lo fosse resterebbe a·sin²x = 0 con sin x = ±1, impossibile per a ≠ 0), si può dividere tutto per cos²x. Si ottiene un'equazione di 2º grado nella tangente:
Omogenee «complete» (con termine noto)
Se c'è un termine noto d, si sfrutta l'identità 1 = sin²x + cos²x per renderlo omogeneo:
portando tutto a primo membro si ricade in un'equazione omogenea, di nuovo divisibile per cos²x.
🎛️ Risolvi f(x) = m graficamente
Le soluzioni di sin x = m (o cos x = m, tan x = m) sono le ascisse dei punti in cui il grafico incontra la retta orizzontale y = m. Qui sono evidenziate quelle nell'intervallo [0, 2π).
📏 Risolvere un triangolo rettangolo
Consideriamo un triangolo rettangolo ABC con l'angolo retto in C: l'ipotenusa è c = AB, i cateti sono a = BC e b = AC, e gli angoli acuti α (in A) e β (in B) sono complementari (α + β = 90°).
Triangolo rettangolo: ipotenusa c, cateti a e b, angoli acuti α e β con α + β = 90°.
1º teorema dei triangoli rettangoli
Un cateto è uguale all'ipotenusa per il seno dell'angolo opposto, oppure per il coseno dell'angolo adiacente:
È la traduzione diretta delle definizioni nel triangolo: sin α = cateto opposto / ipotenusa = a/c, cos α = cateto adiacente / ipotenusa = b/c.
2º teorema dei triangoli rettangoli
Un cateto è uguale all'altro cateto per la tangente dell'angolo opposto al primo, oppure per la cotangente dell'angolo adiacente:
Le formule «inverse» permettono di ricavare gli angoli dai lati:
Esempio completo
a = c·sin α = 10·sin 30° = 10·(1/2) = 5 ;
b = c·cos α = 10·cos 30° = 10·(√3/2) = 5√3 ≈ 8,66 ;
β = 90° − 30° = 60°. Area = (1/2)·a·b = (1/2)·5·5√3 ≈ 21,65.
🎛️ Costruisci il triangolo rettangolo
Regola l'ipotenusa c e l'angolo α: i cateti si calcolano con il 1º teorema.
⭕ Il teorema della corda
In una circonferenza di raggio R, una corda AB è legata all'angolo alla circonferenza γ che «insiste» su di essa (cioè la vede, con vertice sull'arco opposto):
In parole: una corda è uguale al prodotto del diametro (2R) per il seno di uno qualunque degli angoli alla circonferenza che insistono su di essa.
La corda AB e l'angolo alla circonferenza γ in C: vale AB = 2R·sin γ, qualunque sia la posizione di C sull'arco.
Perché funziona
L'angolo al centro AÔB che insiste sulla stessa corda è il doppio dell'angolo alla circonferenza: AÔB = 2γ. Il triangolo isoscele AOB (con OA = OB = R) ha, tracciando l'altezza dal centro, due triangoli rettangoli con angolo γ al centro e mezza corda come cateto opposto:
Poiché tutti gli angoli alla circonferenza che insistono sulla stessa corda sono uguali, il risultato non dipende da dove si sceglie il vertice C.
A cosa serve
Il teorema collega corde, raggio e angoli: permette di calcolare il raggio nota una corda e l'angolo che la vede, oppure la corda noti raggio e angolo. È il «ponte» verso il teorema dei seni.
Da AB = 2R·sin γ: 12 = 2R·sin 30° = 2R·(1/2) = R ⟹ R = 12. Il diametro è 24.
🎛️ Corda, raggio e angolo alla circonferenza
Regola il raggio R e l'angolo alla circonferenza γ: la corda AB si adatta secondo AB = 2R·sin γ. Nota che l'angolo al centro è sempre il doppio.
🔺 Il teorema dei seni
In un triangolo qualsiasi ABC, ogni lato è proporzionale al seno dell'angolo opposto. Il rapporto comune è il diametro della circonferenza circoscritta:
dove α, β, γ sono gli angoli opposti rispettivamente ai lati a, b, c e R è il raggio della circonferenza circoscritta.
Triangolo inscritto nella sua circonferenza circoscritta (raggio R): ciascun lato è una corda vista dall'angolo opposto.
Dalla corda al teorema dei seni
Ogni lato del triangolo è una corda della circonferenza circoscritta, e l'angolo opposto è un angolo alla circonferenza che insiste su quella corda. Applicando il teorema della corda a ciascun lato:
da cui, isolando 2R, segue subito la catena di uguaglianze del teorema dei seni.
Esempio
γ = 180° − 45° − 60° = 75°.
Dal teorema dei seni: b = a·sin β/sin α = 10·sin 60°/sin 45° = 10·(√3/2)/(√2/2) = 10·√3/√2 = 5√6 ≈ 12,25.
Inoltre 2R = a/sin α = 10/sin 45° = 10/(√2/2) = 10√2 ≈ 14,14, quindi R ≈ 7,07.
🎛️ Lati, angoli e circonferenza circoscritta
Imposta due angoli e il lato a: il terzo angolo è determinato (α + β + γ = 180°) e gli altri lati seguono dal teorema dei seni. Osserva che a/sin α = 2R.
🧮 Il teorema di Carnot (del coseno)
In un triangolo qualsiasi, il quadrato di un lato è uguale alla somma dei quadrati degli altri due, meno il doppio prodotto di questi per il coseno dell'angolo compreso:
Lati b e c con l'angolo compreso α: il terzo lato a si ottiene da a² = b² + c² − 2bc·cos α.
Il «Pitagora generalizzato»
Se l'angolo compreso è retto (α = 90°), allora cos α = 0 e il termine correttivo sparisce:
Il termine −2bc·cos α «corregge» Pitagora: è negativo per angoli acuti (cos > 0, il lato opposto è più corto) e positivo per angoli ottusi (cos < 0, il lato opposto è più lungo).
Trovare gli angoli dai lati
Invertendo la formula si ricava il coseno di un angolo conoscendo i tre lati (caso LLL):
Esempio
a² = 5² + 8² − 2·5·8·cos 60° = 25 + 64 − 80·(1/2) = 89 − 40 = 49 ⟹ a = 7.
🎛️ Due lati, l'angolo compreso e il terzo lato
Regola i lati b e c e l'angolo compreso α: il lato opposto a cambia secondo Carnot. Porta α a 90° per ritrovare Pitagora.